1. 研究目的与意义
随着科学技术和生产实践的迅猛发展，非线性科学在各个领域得到了广泛的应用，并取得一系列可喜的成果。由于非线性问题经常用非线性微分方程来表述，这使得非线性微分方程与其他学科的联系也越来越紧密，因此非线性微分方程的求解以及对其解的性质的研究成为理论和实践中一个备受关注的研究课题。由于非线性微分方程的复杂性，能求得精确解的微分方程并不多，因此为了给其他学科的研究提供理论依据或讨论微分方程的解可能具有的性质，人们有时并不直接求解方程而是直接对非线性微分方程解的特性进行研究。对非线性微分方程解的性质的研究，理论上有助于了解其他学科中的某些数学规律，进而推进非线性微分方程的实际应用。
2. 研究内容和预期目标
介绍微分方程组解的存在唯一性定理、解的稳定性和极限环的概念。根据非线性微分方程的特点确立模型，通过若干二次系统、三次系统等实例，了解非线性微分方程解的性质。利用Matlab软件对一些非线性微分方程组进行数值模拟，对非线性微分方程解的性质有更直观的理解。
拟解决问题：
（1）选取合适的方程将二次系统、三次系统等问题转化，简化问题求解过程；
3. 国内外研究现状
A.Gasull, R.Prohens, J.Torregrosa（2004），对刚性三次系统的极限环进行了研究，并给出了相应的证明。H.Saberi Nik, F.Soleymani（2013），运用泰勒型数值方法对非线性常微分方程进行了求解，并在MATLAB中用bvp4c函数进行数值模拟，验证了理论的计算。
蔡燧林，张平光（1991），综述了二次系统极限环的唯一性的一些研究方法和结果,其中也推导计算出了新的结果。裴明鹤，张性珏（2005），利用广义对接方法，建立了n阶非线性微分方程y(n)=f(x,y,y#8217;,#8230;, y(n-1))满足非线性三点边界条件的非线性三点边值问题解的存在性与唯一性定理，所得结果将已有的很多相应结果作为特例。赵百利，李险峰，曾志辉（2007），针对一类拟三次系统的中心条件与极限环分支问题,首先通过适当的变换将系统的原点(或无穷远点)转化为原点,然后求出该系统原点的前18个奇点量,从而导出原点成为中心和最高阶细焦点(细奇点)的条件。在此基础上给出了拟三次系统在原点分支出5个极限环的实例。这是首次讨论高于二次的拟解析系统分支出极限环的问题。刘金麟（2008），先通过对微分方程的解的存在性和惟一性的证明，再通过对解的延拓和连续性的论述，引出方程的稳定性的讨论,初步探讨了线性和非线性微分方程的稳定性，重点对非线性微分方程的解的稳定性做了较深入的探索。
4. 计划与进度安排
2022年11月毕业论文选题、定题；学习本科毕业论文写作的规程与要求；
2022年12月--2022年1月收集、整理、阅读与选题有关的文献资料；撰写开题报告，递交老师审定；
2022年2月-2022年4月15日，拟定论文写作提纲，完成论文初稿，完成外文文献资料翻译，接受中期检查。
5. 参考文献
[1] Gasull A, Prohens R, Torregrosa J. Limit cycles for rigid cubic systems[J]. Journal of mathematical analysis and applications, 2005, 303(2): 391-404.
[2] Aoki S. Estimation Method for First Excursion Probability of Secondary System with Friction or Gap Subjected to Seismic Loading[J]. Journal of System Design and Dynamics, 2008, 2(3): 908-918.
[3] Saberi Nik H, Soleymani F. A Taylor-type numerical method for solving nonlinear ordinary differential equations[J]. Alexandria Engineering Journal, 2013, 52(3): 543-550.
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