1. 研究目的与意义
连通性是拓扑学中重要的性质，它是拓扑不变的，它反映了拓扑空间的一种内在性质。在分析连通性的同时，我们会考虑连通子集、拓扑同胚 、连通分支等概念及性质，也研究了连续映射下拓扑的不变性。
本文通过对拓扑空间基本概念及性质的介绍，阐述了拓扑空间的连通性以及相关定理。拓扑空间的连通性 在数学其他分支中有很广泛的应用，本文重点分析了数学分析和复变函数两门课程中该性质的应用。利用连通性证明了一维空间中的介值定理、不动点定理、Borsuk-Ulam定理，二维空间中的不动点定理、Borsuk-Ulam定理，以及复变函数中的最大模原理。
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学。另一个分支偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑学。现在这两个分支又有统一的趋势。拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。本文主要着重阐述了L-拓扑空间的 -连通性这一新内容。到目前为止，L-拓扑学已成为较为成熟且完整的学科。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：
1、对于拓扑学的发展概要进行综述，安排内容；
2、介绍拓扑空间的概念及几个基本性质，顺便提出了一些第三章将要用到的概念、符号和结果，重要介绍拓扑空间连通性的定义；
3. 国内外研究现状
一般拓扑学从19世纪成为一个独立的科学分支至今已经经历了一百多年的发展历史，虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学、代数学、欧式几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是20世纪40年代到70年代的蓬勃发展，一般拓扑学已经日趋成熟与完善。 #8220;什么是拓扑学？#8221;这是许多初学者都会提到的问题。拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的。但是拓扑学所研究的并不是大家最熟悉的普通的几何性质，而是图形的一种特殊性质，即所谓的#8220;拓扑性质#8221;。尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也是具有很强的几何直观，却很难用简单的语言来准确地描述，它的确切定义可以用抽象的语言来表达，也可以从几个例子来直观地反映。
最具特色的问题就是一笔画问题、七桥问题、地图着色问题及Euler多面体定理。这些问题定理所涉及到图形在整体结构上的特性，就是#8220;拓扑性质#8221;。它们与几合图形的大小、形状，以及所包含线段的曲直等等都无关也就不能用普通的几何方法来处理。需要有一种新的几何学来研究它们。这个学科就是拓扑学。普通几何中图形的#8220;连通#8221;性是一个非常直观的概念，它几乎必须给出数学定义。譬如，谁都知道，在圆锥曲线中，椭圆和抛物线是连通的，而双曲线是不连通的。然而对于复杂一些的图形，单凭直观就不行了，必须深化认识。
现在，把连通性作为拓扑概念给出严格的定义。直观上的连通，可以有两个含义：其一是图形不能分割称互不粘连的两部分；其二是图形上任何两点可以用图形上的线连结。在拓扑学中，这两种含义分别抽象称#8220;连通性#8221;和#8220;道路连通性#8221;两个概念。拓扑与序结构的相互结合，不仅为研究拓扑学提供了新的角度，同时也加强了拓扑学与其他学科的关系，拓广了拓扑学应用的途径
4. 计划与进度安排
2022年11月10日至2022年11月25日：学习规范化要求，搜集和查阅资料。
2022年11月26日至2022年12月12日：初拟开题报告及提纲并上交。
2022年12月13日至2022年1月15日：完善开题报告及提纲，翻译出相关材料。
5. 参考文献
[1]Rysard Engelking,General topology[M].Warszawa，1977
[2]Chang CL,Fuzzy topologicalspace[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1968,24(1):182-190.
[3]Wong C K.Fuzzy point and local properties of fuzzy topology[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1974,46(2):316-328.
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