1. 研究目的与意义
随着非线性科学的发展，非线性微分方程解的存在性研究一直在非线性科学中占据重要的地位。但常用的压缩映像原理只可以用来求解非线性微分方程的解的存在唯一性，对于非线性方程解是不唯一的时候就无能为力。拓扑度理论的建立解决了这个问题，利用某种度数来解决解的存在性或解的个数，在非线性科学中起着重要的作用。
2. 研究内容和预期目标
本文将以已有的研究为基础，学习拓扑度的理论知识，并且在对拓扑度在非线性科学方面的应用做单独研究。首先，在绪论部分先探讨拓扑度的理论知识，如Brouwer度，Leray-Schauder度以及不动点定理；
其次，在对于拓扑度在Banach空间中常微分方程的初值问题的应用做进一步的学习；
最后，给出拓扑度在半线性椭圆方程的Dirichlet问题中的应用。
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3. 国内外研究现状
- 度理论首先是由Brouwer在1912年对有限维空间中的连续映射研究中建立的,并且应用于研究有限维空间中的各种非线性微分方程和积分方程;
- Leary和Schauder在他们的文章中推广了Brouwer度，他们从具体的微分方程和积分方程中，归纳出了全连续映射，并利用有限维逼近的方法，建立了Brouwer空间中全连续场的拓扑度。从此，在研究无穷维线性赋范空间中非线性方程的解的问题上发挥重要作用。
- Brouder和Petryshyn在1969年建立了Banaeh空间中的单值A—proper映射的广义拓扑度。Petryshyn之后对这种拓扑度理论做了系统的综述，这种度一般不再是整数，而是一个可能带有∞的整数集。
- 多值映射的拓扑度方面,范先令指出了关于同伦不变性定理的错误。完善了Banach空间中多值A—por per映射拓扑度的性质,将 Banach空间中单值A—proper映射的大部分结果推广到多值情形。而后更是在 更一般的意义上讨论了集值A—porper映射一致极限的拓扑度,建立了集值(a)型映射的拓扑度。
- 1987年,张从军把Banaoh空间中单值A—prope映射的拓扑度推广到局部凸空间中,接着, 又对集值A—porpe映射作了类似的工作。张石生等在概率线性赋范空间中建立了L—S度理论,并以此为工具得出了概率线性赋范空间中的某些不动点定理。
- 关于拓扑度的计算与应用方面,郭大钧,孙经先曾著文作过系统介绍,建立拓扑度所用的工具和方法也是各种各样的。
4. 计划与进度安排
第一阶段：2022.12-2022.01 整理学习有关拓扑理论的相关知识，并阅读参考文献及课本
第二阶段：2022.02-2022.03 整理有关拓扑度理论的应用部分，深入学习与整理，并构建论文框架，完成整篇论文的初步模型
第三阶段：2022.03-2022.04 整理结论，撰写论文
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5. 参考文献
[1]张从军,任治平.关于拓扑度理论[J].淮北煤师院学报(自然科学版),1994(02):58-62.
[2]岳越. 临界点理论和拓扑度理论在几类微分方程中的应用[D].北京邮电大学,2019.
[3]谢炜,陈以平,公维凤,宦宏伦.Banach空间中常微分方程初值问题解的存在性与可解性[J].湖北民族学院学报(自然科学版),2005(03):216-220.
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