1. 研究目的与意义
与前几个世纪相比，二十世纪是科学技术突飞猛进的世纪，不断出现震撼世界的重大创造和发明，影响整个人类社会，其中最突出的有：原子能的利用，电子计算机的发明等八大新兴领域，一场技术革命已经来临。数学的发展，从来都是和生产实践、科学技术的发展密切相关并互相推动的。首先生产实践向和学技术向数学提出问题，刺激数学发展，其次数学工具的进步又为科学发展提供了台阶。因此，发展数学，是大势所趋，是分析问题规避风险的重要保证，而点集作为数学的基础内容，对其性质的研究的紧迫性、重要性进一步凸显。
欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的#8220;标准#8221;例子。欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。
集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的#8220;集合#8221;与#8220;集合成员#8221;等术语来形式化地建构数学物件。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：1、欧几里得空间中点列的收敛性刻画。2、欧几里得空间中点集的聚点、内点、边界点的概念及其性质。3、开集、闭集、紧集、完备集的概念和性质。4、Cantor三分集的性质、测度以及推广等。写作提纲：本文将分为三个部分。第一部分：引言和文献综述。1、介绍文章背景与实际意义。2、对文章的总体进行概括。第二部分：介绍欧式空间、点集概念、康托尔三分集。1、欧几里得空间中点列的收敛性刻画。2、欧几里得空间中点集的聚点、内点、边界点的概念及其性质。3、开集、闭集、紧集、完备集的概念和性质。4、Cantor三分集的性质、测度以及推广等。第三部分：应用说明与文章总结。1、结合实际情况，说明如何将点集拓扑性质应用到生活问题中去。2、对文章进行总结概括。
3. 国内外研究现状
1.从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是#8220;论无穷线形点流形#8221;，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。第六篇论文是第五篇的补充。《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数。该文从内容到叙述方式都同现代的朴素集合论基本一致，该书标志着点集论体系的建立。
2.1908年策梅罗提出第一个公理集合论系统，后经德国－以色列数学家弗兰克尔和挪威数学家斯科兰姆的补充和修正，ZF如果另加选择公理（AC），则所得的公理系统简记为ZFC.1925年大数学家冯#183;诺伊曼开创了另一套公理系统，后经伯奈斯及哥德尔的改进形成了NBG公理系统。已经证明，ZF对于发展集合论是足够了,它能避免已知的集合论悖论，并在数学基础研究中提供了一种方便的语言和工具。在ZF中，几乎所有的数学概念都能用集合论语言表达，数学定理也大都可以在ZFC内得到形式证明，因而作为整个数学的基础，ZFC是完备的，数学的无矛盾性可以归结为ZFC的无矛盾性。
3.此外，大基数问题，无穷组合论的研究亦有很大进展，70年代以来，决定性公理的研究与它们交织在一起，有很大的进展，同时，人们还在寻找迄今尚未发现的与其它公理无矛盾的可信赖的新的公理，以期在更有效的途径上来解决连续统问题，这方面的工作成为集合论当前研究的主流。
4. 计划与进度安排
1.论文选题和文献检索阶段（2022年11月20日－2022年11月30日）：在导师指导下完成选题和论文构思，收集、阅读、分析相关资料和文献。
2.开题报告和论文大纲阶段（2022年12月1日－2022年1月15日）：在导师指导下撰写开题报告和论文大纲。
3.论文初稿撰写阶段及中期检查（2022年1月16日－2022年4月10日）：在导师的指导下撰写论文初稿，并提交指导老师评阅。
5. 参考文献
[1] 程其襄.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2] 郭味纯.现代数学的奠基人康托尔[J].数学天地，2006.
[3] 刘军.集合论基础[J].四川大学学报，2009.
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